Perkalian dan Perpotongan Garis

Perkalian dan Perpotongan Garis

Perkalian perpotongan garis ini adalah cara yang biasa digunakan oleh orang Jepang dalam mengajarkan kepada siswa-siswanya. Perkalian perpotongan garis ini salah satu cara yang mudah dalam menyelesaikan soal operasi hitung perkalian dan perkalian perpotongan garis ini memiliki cara yang unik dalam menyelesaikannya, serta perkalian perpotongan garis ini dapat membantu para pengajar dalam mengajarkan kepada siswa Sekolah Dasar dalam menyelesaikan permasalah pada operasi hitung perkalian.

Perkalian perpotongan garis ini berangkat dari beberapa Aksioma dua buah garis. lihat gambar berikut ini :

a. Dari sebuah aksioma dapat dikatakan bahwa dua buah garis saling berpotongan maka akan memunculkan satu buah titik.

 

Gambar 1.

b.  Dari duah buah garis yang sejajar dipotong oleh satu buah garis dapat memunculkan dua buah titik.

 

Gambar 2  

  

Dari perpotongan-perpotongan garis tersebut memunculkan asumsi bahwa titik-titik perpotongan garis tersebut memunculkan pola dari perkalian satuan. Berangkat dari asumsi ini timbul pertanyaan apakah asumsi ini berlaku untuk perkalian puluhan dan seterusnya?,  kini kita coba dengan 10x11,jika digambar seperti gambar tadi, akan menyulitkan bila kita menggambarkan 10 garis bahkan lebih.

Gambar 3

Jadi bagaimana kita mengoprasikan perkalian puluhan dengan cara ini?.mari kita gunakan sifat distributif pada perkalian seperti 11x10 . Nilai 10 merupakan hasil dari 5+5, 10+0 atau 6+4 . Nilai 11 merupakan hasil dari 5+6,6+5,atau 10+1.  Lalu kombinasi yang mana yang akan kita gunakan?, kita gunakan nilai tempat(puluhan dengan puluhan satuan dengan satuan), kombinasi yang kita gunakan adalah 10+1 dan 10+0, pada aljabar: 10x11 = (10+0)(10+1) = 100+10+10+1 = 121

Dengan pedoman bentuk perkalian ini kita buat dengan perpotongan garis:

Gambar 4 

Dari ilustrasi diatas, garis yang berwarna biru adalah bernilai puluhan dan yang berwarna merah bernilai satuan, sesuai dengan penjumlahannya (100+10+0+0) titik potong yang dihasilkan oleh 2 garis biru menghasilkan nilai ratusan karena puluhan dikalikan puluhan adalahratusan, titik potong yang dihasilkan dari perpotongan garis biru dengan merah menghasilkan nilai puluhan karena puluhan dikalikan satuan adalah puluhan, dan satuan dengan satuan menghasilkan satuan. Dan mari kita coba dengan ratusan (111x111) mari kita lihat:

Gambar 5

Dari gambar tersebut kita bisa menuliskan 100000+10000+10000+100+100+100+10+10+1 = 12321

Jadi pendapat tadi berlaku dengan (titik potong yang dihasilkan dijumlahkan berdasarkan warnyanya dan kita tinggal menyusun angka yang didapat.)

Lalu timbul pertanyaan bagai mana dengan jumlah titik yang lebih dari Sembilan? Missal 14x13, kita buat gambarnya

Gambar 6

Ternyata terdapat masalah, karena seharusnya 14x13  adalah 182 bukan 1712, ini menunjukan bahwa terjadi kekeliruan jika jumlah perpotongan titik melebihi 9, bagaimana sekarang? Mari kita lihat nilai 12 adalah hasil penjumlahan 10+2 , nah titik potong dari garis biru dengan merah memiliki nilai puluhan yang berarti 1 pada 12 dijumlahkan pada angka 7. Dengan demikian ketika mau menggunakan metode ini terdapat syarat bahwa ketika menjumpai jumlah titik yang melebihi 9 , angka yang bernilai lebih dari angka di belakangnya(12=10+2 ;1 bernilai lebih dari 2 dalam konteks ini), angka itu di jumlahkan dengan angka yang sama nilainya.

Nah, bagaimana jikalau perkalian yang berbeda digit misal 12x2 atau 10x12 ? Apakah dapat dibuktikan dengan langkah yang sama mari kita buktikan ! Lihatlah dibawah ini:

Gambar 7 (12x2) dan (10x12)

Perhatikan gambar A, pada garis biru sebagai  garis yang menunjukan angka ratusan.  Kemudian pada dua garis berwarna merah yang dipotong dengan dua garis berwarna merah sebagai satuan. Oleh karena itu, dari hasil gambar A didapat 12x2=24.

Perhatikan gambar B,  sebuah garis berwarna  biru berpotongan sebuah garis berwarna biru disebut dengan ratusan. Sedangkan, dua garis berwarna merah berpotongan dengan sebuah garis berwarna biru disebut sebagai puluhan. Dari gambar A dan gambar B dapat disimpulkan bahwa dengan cara perkalian perpotongan garis bisa dapat dilakukan.

Akan kita lanjutkan ke pembahasan berikutnya, tadi kita sudah membahas perkalian yang berbeda digit dan dua sampai tiga digit, maka selanjutnya kita akan membahas digit yang lebih dari tiga. Apakah dengan digit yang lebih dari tiga kita dapat menggunakan perkalian perpotongan garis ? Misalkan dengan sebuah contoh soal 1221x2112 , perhatikan gambar berikut!

 

Gambar 8

               Gambar di atas menunjukan perkalian antara 1221x2112. Jika kita amati perkalian yang lebih dari tiga digit ternyata dapat kita gunakan perkalian perpotongan garis. Jika kita tuliskan 1221x2112=2000000+500000+70000+8000+700+50+2=2578752. Maka kita dapat simpulkan bahwa perkalian yang lebih dari tiga atau bahkan perkalian (m x n) dapat kita lakukan dengan cara perkalian perpotongan garis.

Dari pembahasan sebelumnya, kita menemukan bahwa dalam operasi perhitungan perpotongan garis memiliki suatu masalah yaitu pada perkalian 9x9  mari kita perhatikan :

                   Gambar 9

   Dengan memperhatikan gambar diatas, bahwa garis-garis yang berpotongan tidak membentuk seratus pola dalam perhitungan perkalian garis. Itu artinya, perkalian 9x9 tidak efektif dihitung dengan perkalian perpotongan garis.

    Cara ini juga dapat menunjukan konsep perkalian nol, akan digambarkan dengan 3x0, jelas hasilnya 0, tapi seperti apa bentuknya?, perhatikan gambar berikut.

 

Gambar 10

               Dengan prinsip dari metode perkalian ini, yaitu menggunakan titik perpotongan garis, terlihat pada gambar tidak terdapat titik potong, karena itu hasil kali dari 3x0 adalah 0

Kesimpulan

Dari penjelasan diatas dan beberapa contoh yang sudah dipaparkan bisa kita simpulkan bahwa perkalian perpotongan garis juga memiliki kelemahan : (1) Cara ini tidak bisa digunakan untuk menghitung cepat perkalian 1 digit, karena ketika kita mengalikan 1 digit, seperti 9x9 . Kita akan membutuhkan waktu yang banyak untuk menggambarkan garis-garis yang diperlukan, (2) Cara ini dapat membingungkan ketika kita menghitung perkalian yang memiliki nilai 0 di tengahnya. Misalnya 109x301 , karena kita harus menginterprestasikan angka ke dalam, sedangkan 0 tidak dapat di interpretasikan dalam bentuk garis. seperti apa perkalian perpotongan garis bukan hanya menghasilkan perkalian dua digit, tiga digit saja tetapi perkalian perpotongan garis bisa menyelesaikan banyaknya digit hingga digit ke-n. Perkalian perpotongan garis ini merupakan cara yang mudah untuk menyelesai perkalian dengan digit yang banyak dan hasilnya tepat, akurat, dan mudah untuk digunakan.

.

Daftar Pustaka:
- Van de Walle, John A.2012. Matematika sekolah dasar dan menengah jilid 2: pengembangan pengajaran. Jakarta. Erlangga